le blog de gab

24 mars 2005

l'intolérable en mathématiques

 L'intolérable, en mathématiques, c'est la contradiction. Imaginons.

Un savant fou a prouvé, du fond de son antre, que 2 + 2 était égal à 5.

Entendons bien : il a prouvé que 2 + 2 était aussi égal à 5.

Que 2 + 2 soit égal à 5, et non plus à 4, après tout c'est une histoire de convention, de notation, et il serait tolérable – quoique non excessivement pratique – de décréter que dorénavant la suite des nombres entiers s'écrirait 0, 1, 2, 3, 5, ... Non, le savant a prouvé que 2 + 2 était égal à 5. Or 2 + 2 = 4, donc

4 = 5

Or 4 est différent de 5.

Contradiction, pour laquelle aucune tolérance n'est possible !

Le savant fou a fait s'écrouler le monde, non seulement le monde mathématique, mais le monde entier !

Les logiciens ont en effet prouvé depuis longtemps que s'il existait une proposition contradictoire (vraie en même temps que sa négation), alors immédiatement toutes les propositions sont contradictoires ! Et le monde plonge illico dans le chaos ! Tout est vrai, et en même temps tout est faux !

C'est la nuit, et le soleil brille !

Les bébés sont des vieillards !

Les hommes accouchent d'animaux, pendant que les lapins vont à la chasse !

Un sceptique, qui n'était pas l'archevêque de Canterbury, étonné qu'une simple contradiction dans le domaine mathématique, non pas exactement restreint, mais du moins apparemment refermé sur lui-même, puisse avoir des conséquences aussi graves, demanda un jour au célèbre logicien Bertrand Russel (1872 - 1970) :

" Admettons que je vous accorde un instant que 2 + 2 est égal à 5. Vous ne pourrez pas tout de même en déduire que je suis l'archevêque de Canterbury ?"

"Rien de plus facile, répondit Russel. 2 + 2 = 4, donc 2 + 2 – 3 = 5 – 3, donc 1 = 2. Maintenant l'archevêque de Canterbury et vous êtes deux personnes distinctes. Mais deux est égal à un, vous êtes donc la même personne."

( À suivre )

09 janvier 2005

Est-ce que 2 + 2 est égal à 4 ? (suite)

Je me souvenais que George Orwell parlait de cette équation dans son roman "1984". En cherchant dans l'extraordinaire site
http://www.gutenberg.net.au/plusfifty.html
je trouve la citation exacte :
« Freedom is the freedom to say that two plus two make four. If that is  granted, all else follows. »
Ce que je traduis par :
« La liberté, cest la liberté de dire que deux plus deux est égal à quatre. Si cela est accordé, tout le reste suit. »
Le héros,  Winston smith, écrit cela dans son carnet secret, son carnet de révolte. Plus tard, au cours d'une séance de torture, le tortionnaire lui fera comprendre que cela n'est pas accordé. Et à la fin du livre, le révolté, définitivement guéri, écrira "2 + 2 = 5" dans la poussière...

* Chacun est donc en droit de se poser la question.
* La réponse vient de notre liberté, et pas d'une contrainte, mathématique ou autre.
* De la même façon que la liberté est sans cesse à réinventer, à réaffirmer,  tout le mouvement des mathématiques est mobilisé quand on affirme que 2  +  2 est égal à 4.

Cela n'a (presque) rien à voir, mais connaissez-vous la différence entre le psychotique et le névrosé ? Le psychotique est persuadé que 2 + 2 est égal à 5, et cela ne lui pose aucun problème. Le névrosé sait bien que 2 + 2 est égal à 4, mais cela l'embête terriblement...
De là à dire que tout va bien quand on ne se pose pas de question ! 

29 décembre 2004

la force du stéréotype, et au delà

Reçu en forward un fichier de type powerpoint (avec des images, de la musique et tout et tout) qui raconte, en espagnol, la blague suivante, que je tente de transcrire :
« Dans ce grand magasin, les femmes peuvent venir choisir leur mari parmi diverses possibilités. Il y a 5 étages, et la qualité des articles proposés progresse d'étage en étage.
« MAIS il y a une règle : une fois que vous avez monté un étage, vous ne pouvez plus revenir en arrière.
« Deux amies décident d'aller dans ce grand magasin.
« Au premier étage, une pancarte les informe :  Les hommes de cet étage travaillent et aiment les enfants.
Bon, ce serait pire si ils étaient au chomage et n'aimaient pas les enfants, se disent les amies. Comment seront les hommes du deuxième étage ? Et elles montent au deuxième étage, où une pancarte leur dit :
Les hommes de cet étage travaillent, gagnent très bien leur vie, aiment les enfants et sont beaux garçons.
Comment donc seront les hommes du prochain étage ? se disent les amies
A l'étage suivant :
Les hommes de cet étage travaillent, gagnent très bien leur vie, aiment les enfants, sont beaux garçons, et ils aident aux travaux domestiques.
A l'étage suivant :
Les hommes de cet étage travaillent, gagnent très bien leur vie, aiment les enfants, sont beaux garçons, ils aident aux travaux domestiques et ce sont des amants extraordinaires.
Mais comment vont être les garçons du dernier étage  ?  et elles se précipitent, pour trouver une pancarte où est écrit :
Cet étage sert juste à montrer qu'il est impossible de satisfaire les femmes. Veuillez suivre la sortie, s'il vous plait, et bonne journée.»

Cette histoire me plonge dans des abîmes de perplexité. Je ne pense pas qu'elle ait pour but de justifier l'attitude des très nombreux maris qui tabassent leur femme, souvent jusqu'à la mort, en Espagne ou ailleurs.
Non, j'y lis le stéréotype masculin sur les femmes. C'est une histoire drôle, il ne faut pas prendre tout ça au sérieux, ça n'empêche pas, au contraire, que le message passe : toutes les femmes n'ont jamais été contentes de rien, et tout le monde le sait, sauf bien sûr elles mêmes. Tout ceci est évident, indiscutable et c'est la force du stérotype d'imposer comme une évidence l'idéologie du dominant, si j'ai bien compris Barthes.
Et puis je me dis que peut-être il faut chercher une vérité, une moralité dans cette histoire.
Oui, les femmes sont condamnées à manquer les hommes, à chercher chez eux quelque chose qu'ils n'ont pas, un peu à l'envers de la maxime de Lacan : L'amour c'est offrir quelque chose qu'on n'a pas à quelqu'un qui n'en veut pas.
Il n' y a pas de rapport sexuel (toujours Lacan).
Et je tente d'inventer l'histoire symétrique :
Deux amis vont dans un grand magasin où on vend des femmes.
Au premier étage, le tout venant des ménagères de moins de 50 ans, bonne épouse bonne mère.
Au deuxième étage c'est un peu mieux, la femme a son autonomie et elle ne bavarde pas trop.
Au troisième étage, on propose quelques femmes aimantes et qui savent recevoir.
Au quatrième étage, de belles pin-up qui auraient de la conversation ;
Au cinquième étage ...
ELLE est là.
Un corps superbe, le regard brulant de mille feux, dans lesquels on lit une grand sensualité, de tendres sentiments maternels, une admiration sans borne pour l'homme, la soumission énamourée à ses désirs, mais aussi fierté et rébellion...
Les deux hommes s'enfuient en courant.

17 décembre 2004

Est-ce que 2 + 2 est égal à 4 ?

Tout le monde sait que 1/3 est égal à 0,3333...
"La division ne s'arrète jamais." En 1 combien de fois 3, 0 fois, je pose 0 et je recule la virgule d'un rang, en 10 il y va 3 fois, reste 1, j'abaisse le 0, en 10 il y va 3 fois...
J'espère du moins que les récents, actuels et futurs écoliers sont encore, seront encore confrontés à ce genre de réalités...
Il est moins évident de dire, de voir, à quoi est égal 0,99999.... Cela ne vient pas naturellement dans une une division.
Cela nécessite pour être élucidé des techniques plus élaborées que celles qu'on enseigne dans les petites classes.
Est-ce une question de technique ?
Toujours est-il que 0,9999... "est égal à" 1;
Un calcul de somme de série conduit imparablement à ce résultat.
Et pourtant les néophytes qui découvrent cela ne peuvent oter un doute de leurs têtes.
Comme si 0,9999... n'était jamais vraiment égal à 1;
 Ce qu'on ressent, c'est que le signe "=" suppose toute une machinerie, ici symbolisée par les fatidiques "trois petits points".
Du coté gauche de l'égalité, il y a une invite, une dynamique, il y a l'infini.
Du coté droit, il y a une tranquille borne kilométrique, un socle indiscutable, il y a un bloc statique.
Entre les deux, il y a le signe "=".
Les mathématiciens devraient bien se persuader que l'égalité n'est pas la pure identité.
C'est à dire que l'égalité n'est jamais l'égalité.
L'égalité atteinte est la fin de la dynamique. D'une certaine manière, c'est la mort.
C'est pour ça que je dis que 2 + 2 n'est pas vraiment, n'est jamais égal à 4.
Ëtre, c'est être en devenir.
Les mathématiques sont dans ce faible interstice, entre la pure identité et l'affirmation d'une différence éternelle.
Ëtre, c'est être en devenir.

13 décembre 2004

Shakespeare et les singes dactylographes

"Si vous disposez d'assez de singes tapant aléatoirement sur des machines à écrire, ils finiront par écrire les oeuvres de Shakespeare".
Ce site web propose une simulation informatique de cette expérience :
http://user.tninet.se/~ecf599g/aardasnails/java/Monkey/webpages/
à laquelle vous pouvez participer !
Pas en tant que singe bien sûr, mais en faisant  travailler sur votre ordinateur quelques uns des milliards de milliards .... de milliards de singes virtuels de l'expérience. Vous pourrez peut-être battre le record actuel de 23 lettres consécutives de l'oeuvre de Shakespeare...
Il semble que c'est Émile Borel qui le premier a proposé ce paradoxe, en 1913.
Paradoxe car la réécriture de Hamlet par ce moyen est un événement  certain, d'après la théorie des probabilités, mais que nul n'observera jamais.
En attendant , regardez surgir du chaos des bribes de  l'oeuvre du grand auteur...
Je me souviens d'avoir lu une nouvelle qui raconte l'histoire d'un riche gentleman qui réalise l'expérience, avec de vrais singes, de vraies machines à écrire. Evidemment les singes se mettent à taper méthodiquement L'Iliade et l'Odyssée, puis les sonnets de Pétrarque, puis les oeuvres complètes de Proust...  Un mathématicien entend parler de ce résultat, vient constater l'étendue du désastre, et assassine les singes et le riche gentleman... (Russel Maloney, inflexible logic.)
A la page Parable of the monkeys, d'autres repères historiques sur cet étrange paradoxe. Amusant aussi de taper "singe shakespeare" sur votre moteur de recherche favori...